In diesem Blogpost versuche ich zu zeigen, dass Winkel aus der linearen Algebra und der Korrelationskoeffizient aus der Stochastik quasi dasselbe mathematische Konzept inne haben. In der linearen Algebra werden Winkel zwischen Vektoren mithilfe von Skalarprodukten und deren induzierten Normen beschrieben. Seien ⁍ und ⁍ zwei Vektoren aus ⁍, dann ist der Winkel ⁍ dieser beiden Vektoren mit der Formel berechnbar, wobei ⁍ den Betrag, also die Länge eines Vektors und ⁍ das Skalarprodukt darstellt. Seien konkret ⁍und ⁍. Wir rechnen einfach mal den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren aus. Das Skalarprodukt ist übrigens wie folgt definiert: Also für ⁍und ⁍. Produkt der ersten Zeile plus Produkt der zweiten Zeile: ⁍. Für allgemeine Vektoren und deren Winkel führt man ein allgemeines Skalarprodukt definiert werden. Man bezeichnet es mit dieser Notation. Jedes Skalarprodukt induziert gleichzeitig eine Norm. Die Norm berechnet uns die Länge des Vektors. Dazu nehmen wir einfach die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selber. Dann ist ein allgemeiner Winkel durch die Gleichung definiert. Jetzt kommt ein wenig Wahrscheinlichkeitstheorie dazu. Seien ⁍ und ⁍ zwei Zufallsvariablen, dann ist der Korrelationskoeffizient definiert als Führen wir nun ein konkretes Skalarprodukt für Zufallsvariablen ein. Seien ⁍ und ⁍ zentriert, also ⁍ und ⁍. Dann stellt sich heraus, dass gilt. Das heißt, dass das Skalarprodukt und die Kovarianz von zwei zentrierten Zufallsvariablen übereinstimmen. Die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst ist die Varianz Mit diesem Wissen können wir den Korrelationskoeffizienten in folgender allgemeinen Form schreiben: ⁍ kann man als Winkel zwischen ⁍ und ⁍ interpretieren. Zufallsvariablen sind daher genau dann unkorreliert, wenn sie orthogonal aufeinander stehen. Daher findet man in der Literatur auch die Schreibweise ⁍ als Zeichen für Unkorreliertheit oder auch Unabhängigkeit. Wir haben damit die geometrische Anschauung von Vektoren und deren Winkel aus der linearen Algebra auf Zufallsvariablen und Korrelation übertragen. Zum Schluss können wir noch einsehen, dass die Rechenregel für zwei unkorrelierte, also senkrecht aufeinander stehende, Zufallsvariablen dem Satz des Pythagoras entspricht. Wir können noch einen letzten Schritt machen und die Annahme der Unkorreliertheit bzw. der Orthogonalität fallen lassen. Für beliebige Zufallsvariablen ist also der Kosinussatz Wir können ⁍ schreiben als ⁍

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